Những con số kỳ bí

## Bàn tính nhỏ, ý tưởng lớn  Khi kéo một hạt trên bàn tính, em đang làm điều mà máy tính vẫn làm: **biểu diễn một số bằng vị trí**, rồi biến đổi vị trí theo một quy tắc. Toán học không chỉ là kết quả cuối cùng; đó còn là cách sắp xếp thông tin để con người có thể kiểm tra và dự đoán. ## 1. Số nguyên tố là gì? Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước dương: 1 và chính nó. Vì vậy, $2$, $3$, $5$, $7$ và $11$ là số nguyên tố; còn $1$ không phải số nguyên tố vì chỉ có một ước. Một số lớn có thể trông rất khó kiểm tra, nhưng ta không cần thử mọi số. Nếu $n$ có một ước khác 1 và chính nó, một trong hai ước đó không vượt quá $\sqrt{n}$. Do đó để kiểm tra 29, chỉ cần thử 2, 3 và 5: $$\sqrt{29} \approx 5{,}4$$ 29 không chia hết cho số nào trong ba số trên nên 29 là số nguyên tố. ## 2. Sàng Eratosthenes: lọc số như lọc hạt Muốn tìm các số nguyên tố từ 2 đến 30, hãy viết dãy số rồi gạch bội của 2, tiếp tục với 3, 5. Các số còn lại là: | Bước | Việc làm | Những số được giữ lại | | --- | --- | --- | | 1 | Bắt đầu từ 2 | 2, 3, 4, …, 30 | | 2 | Giữ 2, gạch bội của 2 | 2, 3, 5, 7, 9, … | | 3 | Giữ 3, gạch bội của 3 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, … | | 4 | Tiếp tục với 5 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 | Đây là một thuật toán rất sớm nhưng vẫn hữu ích trong lập trình. Thay vì hỏi từng số “có phải nguyên tố không?”, ta loại cả nhóm bội số trong một lần. ## 3. Vì sao mật mã thích số nguyên tố? Trong một mô hình RSA đơn giản, người ta chọn hai số nguyên tố lớn $p$ và $q$, rồi tạo tích: $$n = p \times q$$ Nhân $p$ và $q$ rất nhanh, nhưng nếu chỉ biết $n$ thì việc phân tích ngược thành hai thừa số lớn khó hơn nhiều. Đây là ý tưởng nền tảng để tạo khoá công khai; hệ thống thực tế còn có nhiều bước và tiêu chuẩn an toàn khác, không dùng các số nhỏ trong ví dụ lớp học. ## 4. Thử như một nhà điều tra Hãy kiểm tra 91. Vì $\sqrt{91} \approx 9{,}5$, chỉ cần thử 2, 3, 5 và 7. Ta thấy $91 = 7 \times 13$, vậy 91 không nguyên tố. Với 97, thử đến 9,8 mà không có phép chia hết; 97 là nguyên tố. > **Mẹo:** Khi chia, hãy quan sát chữ số cuối và tổng chữ số. Số chẵn chia hết cho 2; số có tổng chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3; số tận cùng bằng 0 hoặc 5 chia hết cho 5. ## Toán học đi vào nghề nghiệp Kỹ sư phần mềm dùng số nguyên tố để tạo mã băm và bảo mật; nhà thống kê dùng quy luật chia hết để làm sạch dữ liệu; người làm tài chính dùng phân tích thừa số để kiểm tra lỗi trong bảng tính. Một khái niệm lớp 6 có thể trở thành một “viên gạch” trong hệ thống lớn. ### Nhiệm vụ 5 phút 1. Liệt kê các số nguyên tố từ 30 đến 50. 2. Giải thích vì sao 21 và 27 bị loại. 3. Tìm một số không nguyên tố nhưng chỉ có đúng ba ước dương. Em nhận ra quy luật gì?